苏格拉底：很好李宗瑞继母，普罗塔库斯，让咱们以一个问题运行。
普罗塔库斯：什么问题？
苏格拉底：这个天地是任凭非感性和偶然性的诱掖，如故互异，如咱们的祖宗声称，由奇妙的智性和灵巧赋予标准，并为其专揽。
普罗塔库斯：这两个论断收支岂止沉，隆起的苏格拉底。你刚对我说的后一个论断似乎是亵渎神灵，而另一个论断，即智性赋予一切标准，是适合此寰宇之壮不雅的。
柏拉图：《费雷布篇》
尽人皆知，希腊东说念主的天文体表面莫得留存下来。关联词，这些表面是数学如何瓦解所知觉的寰宇的最早的基本表率。而且，要是咱们将哥白尼和开普勒始创的天文体立异与先前的表面比照，就更能瓦解这一立异之巨大。
这里主要关心于数学对不可知觉的物理寰宇所揭示出来的，或者说这么的寰宇只可如斯不充分地知觉，以至于咱们的知觉成了物理上真实专诚念念之实在的鄙俗缺点的表象。在数学这么的应用中，希腊东说念主在数学天文体中尤其优异，为更告捷的数学表面铺好了路。
他们强调天文体商议的基本根由是，天外呈现了最复杂的通顺，至少就东说念主眼所能鉴别出的来说是如斯。在古希腊莫得千里镜，即使有，在细则天体通顺的情势时也不可能会弥漫有用。星辰和近似星辰的物体的出现、消失、再出现，是令东说念主不安和机密的。
尽管希腊东说念主莫得建议现今这么的数学天文体，但他们草创了它，而且为替代它的表面提供了启示。对天地激昂的实在的数学推理和瓦解肇始于希腊东说念主。
即使在最原始的社会中也的确存在着对于天体的兴致。太阳的光和热，太阳和月亮常带的边幅，在一年的不同时间出现和消失的行星的亮光，河汉令东说念主惊异的光的全景以及日月食，引起了诧异、观赏和推测，在有些情形中还引起了畏忌。关联词，在前希腊时间，对于这些激昂的任何可称为精准的知识，都仅限于太阳和月亮的旋转周期，以及一些行星、恒星出现和消失的时刻。不幸的是，这些信息不及以得出这些物体的大小和距离的估算，更不必说提供其相对通顺的形色了。
埃及东说念主和巴比伦东说念主主要作了太阳和月亮通顺的不雅测，部分是为了历法计较，部分是为了取得季节更迭的知识，而这对于农业来说是迫切的。关联词，不管这两个民族如故其他先于希腊的文化都莫得构造出天体通顺的详细形色。虽然，他们枯竭所需的数学知识，莫得实在灵验的不雅测器具。天体的复杂步履对于他们灭亡了任何蓝图、标准和国法的指引。当然看起来变化意外、机密意外。
日本av女友希腊东说念主的念念路与此不同，受他们对知识的渴慕和对感性的珍贵的驱使，他们信赖熟练当然的步履将揭示出天体通顺的固有标准。咱们将会看到，很多希腊天文体家建议并为之狡辩的不雅念最终成为当代天地学的构成部分。这一天地学不是单个天才的遵守。要说天才的话，它是一系列天才的功绩。
商议天象始于米利都，这是小亚细亚西范围伊奥尼亚12个城邦中最南端的一个。这里，在公元前六世纪，各方面身分的最好攀附自若了东说念主的材干，以参与忻悦、往往是危机的玄念念行径。工业与贸易给这个城邦带来了肥饶，其住户称心闲隙。市民庸碌地旅游，从埃及、巴比伦和其他地方领受了丰富的东方念念想。米利都东说念主将他们的物资茂密手脚是不需诸神之助就能有所建树的笔据。逐渐地，一些有勇气之士勇于信赖，天地自己是一个可瓦解的全体，可为东说念主的心智所瓦解。
泰勒斯（Thales）享有西方传统中的第一位科学家和第一位玄学家的双重荣誉。他不雅察星辰时落入沟中的故事讲明了他对商议天象的献身精神。传说他因预言了公元前585年的日食而享有殊荣，不外当代历史学家对此表现怀疑。
泰勒斯的后继者阿那克西曼德（Anaximander， 公元前611—前549）和阿那克西好意思尼（Anaximenes， 公元前570—前480）持续推测，并建议对于天地的基本物资过火结构的表面。不外在这些推测中，数学并莫得起到根蒂的作用。枯竭仪器，也莫得建筑起一套步履，这些科学家对于天体的人道和它们离地球的距离只可作些猜测。这么一来，即使阿那克西曼德也假定恒星比太阳和月亮离咱们更近。也莫得说起当代风趣上的行星；这些漫游者（planet一词在希腊文中的风趣是漫游者）被手脚是在本色上和其他星星一样。
不管如何，泰勒斯和它的伊奥尼亚同业比先于希腊时髦的念念想远远逾越。至少这些东说念主勇于探索天地，阻隔乞助于诸神、精灵、妖魔、天神以过火他的感性所不行采取的作用者。他们的物资和客不雅解释以及感性的步履，使得诗性的、神话的和超当然的形色中的富于幻想而无批判的解释不再实在。富饶才智的直观探索了天地的人道，而感性则为这些知悉狡辩。
在希腊玄学和科学中，第二个巨东说念主是毕达哥拉斯（Pythagoras， 公元前6世纪）。毕达哥拉斯生于米利都近旁的萨摩斯岛。通过30年的游历他轩敞了我方的视线，为隐讳暴政而逃离萨摩斯岛，临了在约莫五十岁的时候，来到意大利的克罗陶那。在那处他将门生组织成一个奇怪的昆仲会，其会员将科学商议与宗教典礼攀附起来。
在天文体限制，毕达哥拉斯教义斗胆地声称地面是球形的，改造了天地学。宗匠我方信赖如斯，而这一新不雅念是由巴门尼德（Parmenides， 约公元前500）著于笔墨的。明显，这些念念想家的动机既是科学的亦然审好意思的。毕达哥拉斯认为球形是立体物体中最好意思的；他教学说天地自己即是这齐备的局势，何况认为天外和地面应该有共同的局势。这些想法可能由善于不雅察的帆海者的答复和日月食时所作的不雅测启发或至少由它们所相沿。逐渐地，地面是球形的这一说法赢得了庸碌的赞同，尽管亚里士多德在公元前四世纪中期的作品中默示说念，那时不同的看法并莫得消失。
毕达哥拉斯派别的确创立了一种天地学，但这只是隧说念推测性的，对自后的希腊天文体念念想影响很小。其数学机密办法和先验的性质似乎短长科学的，不外咱们应记恰其时的不雅测天文体还刚起步。咱们将见到，一般地说希腊的天文体家明确嗅觉到他们的天文不雅测不可幸免是不精准的，从而乞助于数学来作为通向天象细则性的更可靠之路。
当今行星的对抗感性的不规矩通顺眩惑了天文体家的详细力。如实，逐渐地，材干拼图中的几片运行落入适当的位置。不雅星者康健到，金星和水星与其时所知的其他三个“漫游者”不同，老是保执集会太阳，因而唯独在清早或傍晚才能见到。他们也学会将“晨星”和“昏星”看作团结个星星。同期，他们不雅察和念念考行星逆行的玄妙——“漫游者”在自西向东划过天外的往往路程上有时会暂停，在它们的旅途上自东向西后退一小段距离，又暂停，临了又运行东向通顺。这种反常步履使天文体家悲怆。希腊东说念主的敏锐心灵喜爱标准和规矩，这些天外的流浪者简直使他们畏惧。不管如何说，也许这些名义的杂沓背后，灭亡着某种情势？
几个世纪以来古埃及东说念主和巴比伦东说念主不雅测行星，并为其通顺详细地绘画，但他们只是是不雅测者。而寻找合股的天体通顺表面，能揭示出看来不规矩激昂背后的图式，这与不雅测和绘画完全是两回事，而且是跃进了巨大的一步。这即是柏拉图摆在其学院眼前的问题，即“救援激昂”这当今已很着名的语句所抒发的。对柏拉图问题的一个解答是由其学生优说念克苏斯建议的，他我方即是一位群众，何况是希腊最迫切的数学家之一。这一解答是历史上第一个迫切的天文体表面，是将当然感性化撮要中决定性的进展。
优说念克苏斯（Eudoxus， 约公元前408—前355）来自克尼都斯，在现今土耳其西海岸上。年青时他游历到意大利和西西里，在阿球塔斯教唆下研习几何学。在那处他因其数学表面而平地风雷。二十二岁时他至雅典听柏拉图在学院里的讲座。他我方作了一些不雅测，几个世纪以后，他的“不雅象台”还引起一些有趣的旅行者的详细。
优说念克苏斯的决策是诈欺一系列以不动的地球为中心的齐心球。为解释除不动的地球外的任何物体的复杂通顺，优说念克苏斯假定球面通顺的攀附会产生需要的旅途。这决策犬牙交错，因为要解释不同的行星以及太阳和月亮，需要由三四个球形构成的不同系统。虽然，这些球形是数学上的、假定的。
优说念克苏斯似乎得志于这些建树。他莫得探求他的球形以及球形之间互相筹商的物感性质，也莫得探求球形通顺的物理原因。合理的推测是，他只是将这系统手脚漂亮的表面，不需要也不设定物理考据。要是优说念克苏斯简直领受了这种魄力，那他将居于古代、中叶纪和当代天文体的执久传统之首，这一传统将苍穹的几何模子只是手脚毛糙的数学构想。
优说念克苏斯的表面对于不雅察到的天体通顺形色得如何？他我方的著述已失传，咱们只是通过古代驳倒家尤其是亚里士多德的答复才得知他的决策。根据往往的臆想不错得出论断，球体的适当攀附会很准确地得出除金星和火星的旅途外的统统相关通顺。而对于金星和火星，这一系统就崩溃了，以致不行得出逆行这一转星通顺最显贵的特征。不外，在古典时期，是另一个残障成了反对这决策的根据。品评家论证说念，要是如优说念克苏斯所假定的那样天体老是保执与地球雷同的距离，他们就不会弘扬出亮度和大小的变化，而这即使对于裸眼也很显着。优说念克苏斯我方也康健到这些结巴，不外认为忽略它们更合适。毫无疑问，他和他的同期代东说念主看得很澄澈，推翻这一表面就可能将地球从天地中心的位置驱散出去。这一后果是如斯可怕，除了最勇敢的心灵外，任何东说念主都会退避。
尽管毕达哥拉斯派别、斯多葛派别、伊壁鸠鲁派别以及柏拉图和亚里士多德依然坚执天地论不是科学的独到领地，一些才智之士已在寻求一些不雅念，这些不雅念将把天地学酿成唯独通过数学的鲜为东说念主知的话语才能接近的学问。在公元前四世纪中期，一个名叫赫拉克利戴斯（Heraclides）的东说念主（因生于旁体库斯之地也被称作旁体库斯）建议了两个具有立异性风趣的建议。赫拉克利戴斯说说念，看起来天体似乎每天在旋转，其实这是错觉；事实上是地球在通顺，每二十四小时围绕其转轴自旋一周。这是一个斗胆的料到李宗瑞继母，像大大批科学进展一样，它公然与知识和嗅觉训戒违反。事实上，地球之动弹已在两个世纪之前由不为人知的毕达哥拉斯派玄学家黑凯塔斯晓谕，也许这一不雅念从来就莫得消失。东说念主们老是康健到两种可能性——天外动弹和地球旋转——任一个都雷同适应不雅测收尾。那么，为什么赫拉克利戴斯决定让地球通顺呢？也许他执有天地与地球比拟一定很大这一普遍的看法，宁肯旋转小球而不肯动弹精深的外围。不管其根由是什么，这个新不雅念莫得未必被采取也莫得普遍被采取。
他的另一项改造影响更为深切，因为他报复了其时流行的天地学的最薄弱之处。咱们已经看到，优说念克苏斯的齐心球系统不行解释不雅测到的天体大小和亮度的变化。尽管有这个残障，这一表面执续了一段时刻，有随同者急于为其狡辩。
直到赫拉克利戴斯指了路，才有可能见到另外的可能性。简略是受金星和水星老是集会太阳所启发，他提议说这两个行星作以太阳为中心的圆周通顺。要是这“日心”通顺与太阳自己围绕地球的圆形蹊径攀附起来，金星和水星离咱们的距离将显着变化，导致亮度的波动，而这是优说念克苏斯无力解释的。这个新假说具有巨大执久的影响力。在纯数学方面，赫拉克利戴斯第一次在天文体料到中构想出“本轮”办法：圆心围绕另一个圆作念圆周通顺的圆。从这一滥觞将产生出很多科学数学表面。他的表面由于只限于五颗行星中的两个而削弱了力量，而赫拉克利戴斯看来并不想摈斥这一截止。稚童的不雅察和东说念主类的骄气赐与了地球成心的位置，而耐久以来就有对这一位置的侵蚀，太阳作为天体通顺的中心这一不雅念是这一侵蚀传统上的另一个里程碑。
在第二个伟大的希腊时期，当希腊时髦的中心逶迤到亚历山大城时，对于量化知识的兴致和蕴蓄这种知识的意愿终于兴起了。在这里跟踪希腊化时期希腊时髦特征的改变是与主题不相关的。迫切的是，在这个城中，希腊东说念主与埃及东说念主和巴比伦东说念主紧密往复，几千年来埃及东说念主和巴比伦东说念主所蕴蓄的天文不雅测资产更容易得到了。雷同关筹商的是这么一个事实，统率埃及帝国的亚历山大的后继者们为学者们建造了叫作念“缪斯的神殿”（Museum，即英文的博物馆——译者）的巨寰球园，并破耗巨资装备一个着名的藏书楼。他们还提供资金建造刻度细巧的仪器，以更准确地度量天体的角场地以及这些天体对于地球上的不雅测点所张的角。
在希腊化时期埃拉陶斯塞奈斯、阿波罗尼乌斯、阿里斯塔库斯、黑帕库斯、托勒密和几十个其他的隆起之士从事于地舆学和天文体商议。利用这些资源，亚历山大城的东说念主构造了统率15个世纪之久的天文体表面。
希腊化时期的隆起孝敬是由阿里斯塔库斯（Aristarchus）建议的日心假说。汗青对于萨摩斯岛的阿里斯塔库斯记录的很少。他的著述是其唯独的列传，咱们只是通过其著述才得知他。阿里斯塔库斯的日心假说掩盖了他的其他具有执久风趣的建树。在他行状生计的早期年青的天文体家就作念了咱们所知的第一次尝试，来计较天体的大小和距离。尽管恒星和行星对于东说念主类的权衡来说太微细太远处，不雅测数据的肃肃蕴蓄和数学的快速进展使得至少近似计较太阳和月亮的大小成为可行的了。
阿里斯塔库斯的计较出当今他唯独流传下来的著述中，由于这种红运的情况咱们得以跟踪他念念路的细节。从当代的视角来看，他对太阳和月亮大小和距离的计较只是简略的三角学熟练题；关联词，阿里斯塔库斯的职责早于三角学的发明，他只可得志于求上述量的上限和下限，而不是它们的精准值。他的主要兵器是一两代东说念主之前（约莫公元前300年）由欧几里得完成的痛快的几何学详细。阿里斯塔库斯采取了欧几里得的学说，并持续推动，默默地领受了他我方的一些附加定理。然后，玄机地利用这些新的数学遵守，他晓谕了三个主要论断。这些论断处理的是太阳和月亮离地球的距离以及三者的大小之比。
要是咱们只是根据与当代数据的对比来判断他的遵守，咱们不得不说阿里斯塔库斯的职责是显着的失败。缺点不在于阿里斯塔库斯的数学，而在于其时鄙俗的不雅测仪器所能作念出的不雅测。从当代数学的不雅点来看，这一利用欧几里得的几个定理来度量苍穹的踊跃步履似乎很戚然。然而阿里斯塔库斯沿着往常进展的通衢跨出了第一步。通侵略“多远”和“多大”，他已运行入辖下手摈斥立在东说念主类和天地的真实图像之间的两个中心拒绝。
在他唯独留存下来的著述中阿里斯塔库斯莫得说起地球绕太阳运转。关联词，比他年青25岁的阿基米德写下的一段话，似乎摈斥了一切怀疑：
萨摩斯的阿里斯塔库斯出了一册书，这本书由一些假说构成，即固定的星星和太阳保执不动，地球围绕太阳沿圆周运转，而太阳居于轨说念的中心。
咱们当今不行细则阿里斯塔库斯的动机。赫拉克利戴斯教学说金星和水星以太阳为中心，已作了潜在有用的先导。阿里斯塔库斯我方对太阳、月亮和地球大小的计较，再加上对于能源学旨趣的直观，可能使他信赖，让较小物体围绕较大物体旋转从物理上说更合理。另一种可能是，也许他认为日心办法只是一个有眩惑力的假说，为了其数学后果值得探讨。不管如何说，这个不雅念对于它的时间来说太斗胆了，取得很少相沿。再者，地球住户嗅觉不到地球的自转和公转这一事实，还有地球是天地的自然中心这一信念，都反对阿里斯塔库斯的决策。
在阿里斯塔库斯度量天体的大小和距离的始创性勤勉不久，另一个隆起的科学家也在团结传统中商议，不外眼神放得有点低，晓谕了一个没东说念主见过其全体的物体之大小，这即是地球。
埃拉陶斯塞奈斯（Eratosthenes）约莫公元前276年生于北非的丘来乃。不得志于在数学、天文体和地舆学上的告捷，他还闯进诗歌、历史、语法和文体品评等限制。由于在这些限制中仅次于最好的，他取得了“贝塔”（希腊字母表中的第二个——译者）的昵称。即使对于希腊东说念主来说，这亦然多艺多才。就咱们当今所知，他度量咱们星球的勤勉险些莫得前驱，不外这很鄙俗。
埃拉陶斯塞奈斯不雅察到在修埃乃（现今的阿斯旺）在夏至那天正午，太阳莫得在职何物体上留有影子；而同期在亚历山大城，日晷的指引器投下的影子等于一个全圆的1/50。设定两城在团结子午线上相距5000斯达戴斯（stades，一个咱们不行计较的希腊单元，见图19），何况太阳的色泽到达地球上的不同地方时是平行的（在其时是很顶端的不雅念），埃拉陶斯塞奈斯利用凯旋的几何学论证来讲明亚历山大城和修埃乃之间的弧距离必定是地球周长的1/50，这么就不错算出地球的周长是250000斯达戴斯。他的假定中有两个是缺点的：1）亚历山大城和修埃乃事实上不在团结子午线上；2）阿里斯塔库斯只是根据国王的信使在两城之间驰驱所需要的时刻来计较它们的距离。不管如何说，埃拉陶斯塞奈斯的建树的短期风趣与其说由于其精准度还不如说由于它作的榜样和它带有的信念。这是对于正在增长的量化天文体趋向的持续和饱读吹，也提供了咱们不错最终度量最远处的星星的标尺。
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图19
阿里斯塔库斯和埃拉陶斯塞奈斯的量化步履不久被扩张成太阳系的量化表面。虽然不管这些天体通顺的模子只是构想为数学构造如故被手脚是物理实在的镜子，都弥远保执着最终的筹备：重现或预言天体在天外上的执行旅途。从优说念克苏斯的时间直到咱们将要形色的念念想家的时间，数学天文体家建议的多样各类的修正的确利用了其前驱建议的不雅念。
希腊天文体的巅峰和决定性的成即是黑帕库斯（Hipparchus， 死于公元前125年）和克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy， 死于公元168年）所取得的遵守。黑帕库斯主要生活在赫劳戴斯。在他的活跃期即约莫公元前150年，赫劳戴斯是一个交易上和念念想上都很茂密的希腊城邦，足以匹敌亚历山大城。黑帕库斯充分了解亚历山大城的进展。举例他熟悉埃拉陶斯塞奈斯的《地舆学》（Geographica），并写下了对它的品评。他领有更陈腐的巴比伦东说念主的不雅测数据以及自公元前300年至公元前150年亚历山大城的不雅测数据。虽然他我方也作念了很多不雅测。
优说念克苏斯的决策假定天体附着在以地球为中心的旋转球体上，黑帕库斯康健到这一决策不行解释由其他希腊东说念主和他我方不雅察到的很多事实。为替代优说念克苏斯的决策，黑帕库斯假定，一转星P（见图20）沿着一个圆即本轮的圆周以恒定的速率通顺，而本轮的中心Q沿着以地球为中心的另一个圆周以恒定的速率通顺。适当地考中两个圆的半径以及Q和P的速率，他就能得到很多行星通顺的准确形色。根据这个决策，一个行星的通顺近似于根据当代天文体得出的月球的通顺。月球围绕地球运转而同期地球围绕太阳运转。月球围绕太阳的通顺近似于在黑帕库斯体系中行星围绕地球的通顺。
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图20
在有些天体的情形中，黑帕库斯发现存必要诈欺三四个圆，一个沿着另一个运转。也即是说，一个行星P沿着一个以数学点Q为中心的圆周通顺，点Q沿着以点E为中心的圆周通顺，而点R沿着以地球为中心的圆周通顺。雷同，每一个物体或点以我方的恒定速率通顺。在有些情况下，黑帕库斯不得不假定最内部的圆即“从圆”的中心不在地球上，而是在其近旁。在这个几何构造中的通顺叫作偏心的，而圆的中心是地球时，这么的通顺叫作本轮的。利用这两种类型，并适当地考中圆的半径和速率，黑帕库斯能够很好地形色月球、太阳和其时所知的五个行星的通顺。利用这个表面能够预言月食，谬误在一两个小时之内；预言日食则准确度差一些。
咱们不行概述黑帕库斯的统统建树，但咱们应该详细影响了自后的天文体的精彩发现：“分点岁差。”分点——天球赤说念的平面、黄说念和地球轨说念的交叉点——冉冉而有规矩地变化，约莫26000年完成一个周期。黑帕库斯编纂了最早的星表，最终给约莫850个恒星定位。即是在编纂流程中他取得了对分点岁差的知悉。他还估算太阳年的长度为365天5小时55分，比当代的计较长6.5分钟。
值得一提的是，从当代的不雅点来看，黑帕库斯后退了一步，因为约莫一个世纪前阿里斯塔库斯就建议了统统的行星都围绕太阳通顺的表面。然而亚历山大城的不雅象台历经150年的不雅测数据，再加上更陈腐的巴比伦的记录，使黑帕库斯信赖，行星围绕太阳作念圆周通顺的日边幅论不行解释这些事实。咱们今天也知说念这一丝。
黑帕库斯莫得跟蔼然校正阿里斯塔库斯的不雅点，而是将其手脚隧说念是玄想而弃置不顾。其他东说念主阻隔阿里斯塔库斯的不雅点，是因为，将地球看作是一颗行星，即是将地球上的可朽坏物资和不可朽坏的天体手脚团结的，而这在他们看来是大不敬。这一分手在希腊念念想中树大根深，即使亚里士多德也为其狡辩，不外并莫得顽强地狡辩。
耶稣降生后两个世纪，希腊天文体如日中天。是生于尼罗河边的克劳狄乌斯·托勒密使天文体达到如斯高度。像咱们的历史答复中很多的早期骁雄一样，他险些莫得列传。咱们只是被奉告，他于78岁时亏空，他在亚历山大城的天文体不雅测行径简略从公元127年延续到公元151年。在他的时间，他因天文体也因地舆学取得声望。他还写了对于光学的著述；还出了一册对于占星术的书，其中将轻诺肃静与科学混在沿途。他的执久声誉来自其《数学详细》（Mathematike Syntaxis）。阿拉伯翻译者称这本书为al-megiste（最伟大的），因而产生书名《至大论》（Almagest），这本书主导了欧洲天文体达1400年之久。
黑帕库斯的遵守为咱们所知是因为它保存在托勒密的《至大论》中。在其数学内容中，《至大论》赐与了希腊三角学以细则的局势，而三角学保留这局势达一千多年。在天文体限制，他对对于本轮和不以地球为中心的行星轨说念的地边幅论作了原创性的说明，这一表面被称作托勒密表面。在量上它是如斯准确，而又这么永劫刻为东说念主们所采取，东说念主们被迷惑将它手脚是全都真义。这个表面是柏拉图将天体激昂合理化之问题的最终的希腊解答，何况是第一个实在伟大的科学详细。托勒密完成了黑帕库斯的职责，天地的数学图式之笔据达到少量点后第十位。关联词，像优说念克苏斯一样，托勒密明确说过他的表面只是一个数学构造。
托勒密知说念阿里斯塔库斯的日边幅论，然而清除了它，根由是一物的通顺与其质料成正比。这么，要是地球通顺的话，它就会将东说念主和动物这么较轻的物体抛在背面。他的天文体以天外是球形的运行；他说，这是东说念主类最陈腐的天地学上细则的事实。他我方的推理大都基于不雅测，不外旧的先天论证的回响还在执续：“天体的通适应该受到最小的庇荫，而且最容易。在平面图形中圆提供了最容易的旅途，而在立体图形中球体亦然这么。”托勒密认为有必要给出地面亦然一个球的不雅测笔据。正如咱们已见到的，他坚执咱们的星球不通顺，不外他也承认，要是地球旋转，将会产生一些咱们见到的激昂。地球在天地的中央；它的体积，与星星之间的距离比拟，只是一个点；他这么说是对现已建筑的传统的持续。
《至大论》的第三卷探讨的是太阳的旅途问题，其要义是黑帕库斯发现的惩办步履，即太阳通顺的中心不是地球，而是在其近旁。托勒密说：“坚执偏心轨说念的假说更合理，因为这更简略，完全由一种通顺而不是两种通顺达成。”这一知道的段落告诉咱们，这里托勒密的念念考是由优好意思和简洁问题主导的，而莫得推敲这些天圆的物理存在。在月球表面中，托勒密发现黑帕库斯的模子——本轮绕从圆旋转——在眉月和朔月时适应不雅测收尾，而在中间位置则垮掉了，这时，正如黑帕库斯已看到的，月球的表不雅直径似乎增多了。因此托勒密构造了一种玄机的假想，其中在适当的位置本轮被拉向不雅察者。这依然调换的模子能高度准确地给出月球的黄经，然而有严重的残障。它隐含着咱们的卫星离地球的距离有巨大的变化，而月球表不雅大小的可见变化却不行完全阐述这距离的变化。
托勒密的下一步是，通过比较他的不雅测收尾和从表面中算出的位置，来推算月球到地球的距离，得出平均距离是地球半径的29.5倍。然后他借助于阿里斯塔库斯400年前的论证来推导太阳的距离，不外在这里他误入邪途，估算收尾比黑帕库斯的一半还小，比执行数小10倍。在接下来的1500年中没东说念主校正这些估算。在《至大论》的第七卷和第八卷中，托勒密改正并扩张了黑帕库斯的恒星星表，从850目增多到1022目。他根据大小（magnitude）把星星分为六类。当今magnitude这个术语不是指体积而是指表不雅亮度。不外，古代东说念主认为统统的星星离地球雷同远，收尾亮度被手脚与体积成正比。
在第九卷中，托勒密伸开了他迥殊的最高建树：对行星反常通顺的第一个完整而严格的形色。他的首先虽然是天体几何学无东说念主质疑的第一公理，他是这么表述的：
对于5个行星像对于太阳和月亮一样，咱们的问题是要讲明，统统表不雅上的不规矩都是由规矩的圆形通安产生的（因为它们不习尚于不一致和杂沓）。
在科学史上很少有哪一个先天旨趣这么完全而又这么长久地统率东说念主们的念念想。
作为一级近似，托勒密认为统统的行星通顺都处在黄说念平面上。黄说念平面即太阳的圆形旅途，托勒密认为它冉冉旋转，产生了分点岁差。而且，本轮围绕从圆旋转的决策对于行星来说是不够的，因为由其导出的逆行弧对于统统的行星长度都相配，而且均匀间隔，而这与不雅测数据互异。托勒密反对这种过分的对称，设定了一个本轮围绕偏心轨说念（eccentric）旋转。
在偏心轨说念—本轮（eccentric-epicycle）的基本情势中，激昂不错被救援了。不外托勒密发现，这只可设定每个行星的本轮不是一律围绕从圆的中心C运转，而是相对于另一个叫作念对点（equant）的Q运转（见图21）。地球在E点，且EC＝CQ。行星围绕本轮通顺的场地与本轮的中心围绕从圆的场地换取。（这与太阳和月球模子中所设定的互异的公转场地不同。）当行星在本轮上离地球更近的一面时，逆行就发生了。水星的情形更复杂，与托勒密为月球所作的假想相似：水星从圆的中心沿着它我方的一个小圆通顺，这么这颗行星的本轮就被周期性地拉近地球。一颗内行星（金星或水星）在其自己的“一年”（等于绕太阳公转一周的时刻）中沿其本轮运转一周，而本轮沿从圆运转一周需要一个行星年。生人星与这种安排互异，这里本轮沿偏心轨说念运转一周的时刻等于咱们当今所说的行星绕太阳的公转时刻，而行星围绕本轮运转一周的时刻对应于咱们所说的地球绕太阳的公转时刻。每一个本轮都向其从圆歪斜，以保执本轮大致与黄说念平行。
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图21
托勒密写说念：“让任何东说念主见到咱们假想的结巴而不认为咱们的假说长途”，不外迷惑不明的读者可能会想表现异议。毕竟，科学并不事先保证大当然会是简略的。
从咱们的不雅点来看，对点是托勒密的群众手笔，是一个完全原创、完全告捷的决策，预示了开普勒的椭圆。而对于这位伟大的天文体家以后的品评者来说对点的闯入挫伤了天体通顺清白的第一旨趣，这第一旨趣坚执的是唯独相对于圆心来说的通顺皆一性。在某些东说念主看来，对点是实在引起群愤之事，这自后促使哥白尼领受地球通顺的决策。伟大的科学立异有一个何等奇怪的发源啊！
为增进他对于月亮、太阳和行星通顺的精彩决策，托勒密按照它们离地球的距离来排序，不外这里他出了错。他知说念他对天体体积的估算是鄙俗的，因为莫得好的天文体仪器可用。
玄学上的反对暂且不管，《至大论》的几何学成即是痛快的。关联词，咱们很容易信赖托勒密好探求的头脑会甘愿用对天外真实材料的形色来补充这些承认是想象的圆。将数学表面和可触摸的实在攀附起来，将天文体家的形色职责和物理学家的解释功能攀附起来，这一陈腐的目力在这建立几何模子的早期阶段险些莫得减轻。而执行上，两者的区别却越来越大。因为数学对非圆形轨说念的坚执，以及对非地球的旋转中心的坚执，看来与合理的亚里士多德旨趣令东说念主横祸地不一致。很多希腊化时间的天地学家干脆置亚里士多德的物理学不顾，但数学假想不休增多的复杂性一定在很多其他念念想家中引起了不休增长的对实在的疏离感，以致也许还引起了对亚里士多德简略性乐土的怀旧感。
托勒密在有些限制形象欠安。有些读者对于《至大论》望而生厌，因为其真实或想象的艰深的学究气，也因为其盘根错节的复杂几何学：
在天外上
涂抹些齐心轨说念和偏心轨说念
圆连着本轮，天球套着天球。
关联词，它自加截止只用皆一的圆形轨说念，除了答应月亮离地球过度变化的距离外，托勒密形色天体轨说念的精准度足以匹配不雅测数据的准确度。而且圆的倍增讲明了这位伟大的天文体家面临大当然的复杂性所弘扬的勇气和妙技。对点的引入是第一流的数学创造，使托勒密特异于其最有才智的前驱。《至大论》应该排在科学史上最有影响的书本之列，尽管其中讲授的很多特征，尤其是居于中心不动的地球，保留了日常训戒的信念和多个世纪蕴蓄的“灵巧”。
从探求真义的角度来看，值得详细的是，像优说念克苏斯一样，托勒密充分康健到他的表面只是一种适应不雅察贵寓的毛糙的数学形色，而不一定势必是大当然的真实假想。对于有些行星他有另外的决策可供遴荐，不外他遴荐了数学上更简略的。托勒密在其《至大论》的第三卷中说，在天文体中应该寻求尽可能简略的数学模子。关联词托勒密的数学模子被基督教寰宇采取为真义。
托勒密表面为大当然的皆一性和不变性提供了第一个合理完整的笔据，是对柏拉图将激昂合理化问题的最终的希腊解答。一言以蔽之，托勒密表面的伟大风趣在于李宗瑞继母，它讲明了数学在将复杂以致机密的激昂合理化中的力量。瓦解大当然以致发现完全未知的激昂，从它的第一个痛快的告捷中取得了能源和饱读吹。（M·克莱因）
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